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]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{实数的连续性}
\author{张志聪}
\maketitle

\begin{zremark}
    在《陶哲轩实分析》（第三版）这个本书中，
    在第9章开头$\textcircled{1}$中说明本书没有严格定义“连续统”，
    给人的感觉是实数$\mathbb{R}$的连续性陶哲轩没有证明。
    但我个人觉得陶哲轩已经完成了证明。
\end{zremark}

\section*{1.直观}

离散集合与连续统是相对的概念。粗略的说，如果集合中的每一个元素与剩余元素之间有一段非零的距离，
那么这个集合就是离散的；如果一个集合是连通的并且没有“洞”，那么这个集合就是一个连续统。

陶哲轩用定理6.4.18（实数的完备性）已经隐含了实数的连续性，
实数的完备性就是实数“连续性”的一种正式数学表达。而且证明完备性的方法也有多种
比如戴德金分割（《数学分析八讲-辛钦》的方法）、柯西序列是收敛序列（《陶正轩实分析》的方法）等。

如果实数有空洞$l \notin \mathbb{R}$，就可以构造一个实数序列不断趋近$l$，
但因为$l \notin \mathbb{R}$，导致这个序列无法收敛到某个实数。

特别地，陶哲轩是通过上极限与下极限相等来证明定理6.4.18的，
也就依赖了柯西序列一定存在上极限和下极限（极限点的定义说明其本身就是实数），
但书中缺少这个说明，接下来我们证明下柯西序列一定具有上极限（下极限类似）。

设$(a_n)_{n = 1}^\infty$是任意实数柯西序列。

因为$(a_n)_{n = 1}^\infty$是实数柯西序列，由引理5.1.15可知，
序列$(a_n)_{n = 1}^\infty$是有界的，
即存在一个实数$M > 0$，使得$|a_n| \leq M$。

我们有
\begin{align*}
  \lim\sup\limits_{n \to \infty} a_n = \inf(a_N^+)_{N = 1}^\infty
\end{align*}
其中
\begin{align*}
  a_N^+ = \sup(a_n)_{n = N}^\infty
\end{align*}
于是可知$(a_N^+)_{N = 1}^\infty$是一个单调递减的序列，
由命题6.3.8（单调有界序列收敛于实数，这个命题的证明过程会依赖定理5.5.9）可知，且
\begin{align*}
  \lim\limits_{N \to \infty} a_N^+ = \inf(a_N^+)_{N = 1}^\infty \leq M
\end{align*}
命题得证。

\end{document}
